Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial

            Persamaan diferensial adalah persamaan matematika untuk fungsi satu variabel atau lebih, yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dalam berbagai orde.

Persamaan diferensial muncul dalam berbagai bidang sains dan teknologi, bilamana hubungan deterministik yang melibatkan besaran yang berubah secara kontinu (dimodelkan oleh fungsi matematika) dan laju perubahannya (dinyatakan sebagai turunan) diketahui atau dipostulatkan. Ini terlihat misalnya pada mekanika klasik, di mana gerakan sebuah benda diperikan oleh posisi dan kecepatannya terhadap waktu. Hukum Newton memungkinkan kita mengetahui hubungan posisi, kecepatan, percepatan dan berbagai gaya yang bertindak terhadap benda tersebut, dan menyatakannya sebagai persamaan diferensial posisi sebagai fungsi waktu. Dalam banyak kasus, persamaan diferensial ini dapat dipecahkan secara eksplisit, dan menghasilkan hukum gerak.

            Teori persamaan diferensial sudah cukup berkembang dan metode yang digunakan bervariasi sesuai jenis persamaan. Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Dalam bentuk paling sederhana fungsi yang tidak diketahui ini adalah fungsi rill atau fungsi kompleks, namun secara umum bisa juga berupa fungsi vektor maupun matriks. Lebih jauh lagi, persamaan diferensial biasa digolongkan berdasarkan orde tertinggi dari turunan terhadapat variabel terikat yang muncul dalam persamaan tersebut.

            Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari banyak variabel bebas,dan persamaan tersebut juga melibatkan turunan parsial. Orde persaman didefinisikan seperti pada persamaan diferensial biasa,namun idasifikasi lebih jauh ke dalam persamaan eliptik, hiperbolik,dan parabolik, terutama untuk persamaan diferensial linear orde dua,sangatlah penting.Beberapa persamaan diferensial parsial tidak dapat digolongkan dalam kategori-kategori tadi,dan dinamakan sebagai jenis campuran.

            Baik persamaan diferensial biasa maupun parsial dapat digolongkan sebagai linier atau nonlinier. Sebuah persamaan diferensial disebut linier apabila fungsi yang tidak diketahui dan turunannya muncul dalam pangkat satu (hasil kali tidak dibolehkan). Bila tidak memenuhi syarat ini,persamaan tersebut adalah nonlinier.

Persamaan Diferensial Biasa

            Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Dalam bentuk paling sederhana fungsi yang tidak diketahui ini adalah fungsi rill atau fungsi kompleks, namun secara umum bisa juga berupa fungsi vektor maupun matriks. Lebih jauh lagi, persamaan diferensial biasa digolongkan berdasarkan orde tertinggi dari turunan terhadapat variabel terikat yang muncul dalam persamaan tersebut.

Berikut beberapa contoh PDB :

Dengan c adalah sembarang konstanta yang tidak diketahui. Sehingga solusi PDB di atas disebut juga solusi umum. Solusi khusus bisa diperoleh bila ada lagi sebuah persamaan yang merupakan syarat batasnya.

Secara umum dapat ditulis:

sehingga diperoleh

Walaupun ada banyak metode untuk mencari solusi analitik dari persamaan Diferensial Biasa (PDB),tetapi pada umumnya terbatas pada PDB yang spesifik . Pada kenyataannya banyak PDB yang tidak dapat dicari solusi analitiknya tetapi solusi numeriknya dapat diperoleh. Walaupun solusi analitik dapat diperoleh tetapi rumit, biasanya lebih lebih dipilih solusi numeriknya.

Penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa

           Penyelesaian PDB Orde satu dengan integrasi Langsung:

Jika PDB dapat disusun dalam bentuk                    , maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan integrasi langsung.

Contoh: Tentukan solusi khusus persamaan berikut jika y=3 untuk x=0:

·        

•     Penyelesaian PDB Orde Satu Dengan Pemisahan Variabel

·

Jika persamaan diferensial berbentuk                              , yaitu persamaan yang ruas kanannya dapat dinyatakan sebagai perkalian atau pembagian fungsi x dan fungsi y, maka penyelesaian PD dengan cara memisahkan variabelnya sehingga faktor ’y’ bisa kita kumpulkan dengan ‘dy’ dan faktor ’x’ dengan ‘dx’. 

Contoh: Selesaikan PD berikut :